|  |
pg2013.ru / Постановление
"Государственная система обеспечения единства измерений. Применение "Руководства по выражению неопределенности измерений". РМГ 43-2001"
(введены Постановлением Госстандарта РФ от 26.03.2003 № 96-ст)
Официальная публикация в СМИ:
М., ИПК Издательство стандартов, 2003
------------------------------------------------------------------
--> примечание.
Начало действия документа - 01.07.2003.
Окончание действия документа - 30.09.2012.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
В соответствии с Постановлением Госстандарта РФ от 26.03.2003 № 96-ст данный документ введен в действие с 1 июля 2003 года.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Документ утрачивает силу с 1 октября 2012 года в связи с изданием Приказа Росстандарта от 16.11.2011 № 555-ст.
------------------------------------------------------------------
Введены в действие
Постановлением
Государственного комитета
Российской Федерации
по стандартизации и метрологии
от 26 марта 2003 г. № 96-ст
Дата введения -
1 июля 2003 года
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕЖГОСУДАРСТВЕННОЙ СТАНДАРТИЗАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ
ПРИМЕНЕНИЕ "РУКОВОДСТВА ПО ВЫРАЖЕНИЮ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ"
РМГ 43-2001
Предисловие
1. Разработаны Всероссийским научно-исследовательским институтом метрологии им. Д.И. Менделеева (ВНИИМ им. Д.И. Менделеева) Госстандарта России.
Внесены Госстандартом России.
2. Приняты Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол № 20 от 2 ноября 2001 г.).
За принятие проголосовали:
-------------------------------T---------------------------------¬
¦ Наименование государства ¦ Наименование национального ¦
¦ ¦ органа по стандартизации ¦
+------------------------------+---------------------------------+
¦Азербайджанская Республика ¦Азгосстандарт ¦
¦Республика Армения ¦Армгосстандарт ¦
¦Республика Беларусь ¦Госстандарт Республики Беларусь ¦
¦Грузия ¦Грузстандарт ¦
¦Республика Казахстан ¦Госстандарт Республики Казахстан ¦
¦Кыргызская Республика ¦Кыргызстандарт ¦
¦Республика Молдова ¦Молдовастандарт ¦
¦Российская Федерация ¦Госстандарт России ¦
¦Республика Таджикистан ¦Таджикгосстандарт ¦
¦Туркменистан ¦Главгосслужба ¦
¦ ¦"Туркменстандартлары" ¦
¦Республика Узбекистан ¦Узгосстандарт ¦
¦Украина ¦Госстандарт Украины ¦
L------------------------------+----------------------------------
3. Постановлением Государственного комитета Российской Федерации по стандартизации и метрологии от 26 марта 2003 г. № 96-ст рекомендации по метрологии РМГ 43-2001 введены в действие непосредственно в качестве Рекомендаций по метрологии Российской Федерации с 1 июля 2003 г.
4. Введены впервые.
Введение
В 1993 г. под эгидой Международного комитета мер и весов (МКМВ), Международной электротехнической комиссии (МЭК), Международной организации по стандартизации (ИСО), Международной организации по законодательной метрологии (МОЗМ), Международного союза по чистой и прикладной физике, Международного союза по чистой и прикладной химии и Международной федерации клинической химии разработано "Руководство по выражению неопределенности измерения" (далее - Руководство).
Целями Руководства являются:
- обеспечение полной информации о том, как составлять отчеты о неопределенностях измерений;
- предоставление основы для международного сопоставления результатов измерений;
- предоставление универсального метода для выражения и оценивания неопределенности измерений, применимого ко всем видам измерений и всем типам данных, которые используются при измерениях.
Существуют два подхода к оцениванию параметров (характеристик) точности измерений. Один подход основан на понятиях и терминах, используемых в Руководстве, другой - на понятиях и терминах, применяемых в основополагающих нормативных документах (НД) в области метрологии, используемых в национальных системах обеспечения единства измерений государств - участников Соглашения "О проведении согласованной политики в области стандартизации, метрологии и сертификации" (далее - Соглашение).
Задачами настоящих Рекомендаций являются:
- изложение основных положений Руководства и рекомендаций по их практическому применению;
- сравнительный анализ двух подходов к описанию точности измерений;
- показ соответствия между формами представления результатов измерений, используемыми в основополагающих НД в области метрологии, и формой, используемой в Руководстве.
1. Область применения
Настоящие Рекомендации распространяются на методы оценивания точности результатов измерений, содержат практические рекомендации по применению Руководства [1] и показывают соответствие между формами представления результатов измерений, принятыми в основополагающих нормативных документах (НД) по метрологии, применяемых в странах - участниках Соглашения, и формой, принятой в Руководстве.
2. Нормативные ссылки
В настоящих Рекомендациях использованы ссылки на следующие стандарты и Рекомендации:
ГОСТ 8.207-76. Государственная система обеспечения единства измерений. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения
ГОСТ 8.381-80. Государственная система обеспечения единства измерений. Эталоны. Способы выражения погрешностей
РМГ 29-99. Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Основные термины и определения.
3. Определения и обозначения
3.1. В настоящих Рекомендациях использованы следующие основные термины, определенные в Руководстве:
неопределенность (измерений): параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине;
стандартная неопределенность (u): неопределенность результата измерений, выраженная в виде среднего квадратического отклонения (СКО);
суммарная стандартная неопределенность (u ): стандартная
c
неопределенность результата измерений, полученного через значения
других величин, равная положительному квадратному корню суммы
членов, причем члены являются дисперсиями или ковариациями этих
других величин, взвешенными в соответствии с тем, как результат
измерений изменяется при изменении этих величин;
расширенная неопределенность (U): величина, определяющая интервал вокруг результата измерений, в пределах которого, как можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могли бы быть приписаны измеряемой величине.
3.2. В настоящих Рекомендациях использованы следующие обозначения:
x - оценка i-й входной величины;
i
x - l-й результат измерения i-й входной величины;
il
_
x - среднее арифметическое значение i-й входной величины;
i
y - оценка измеряемой величины;
u - стандартная неопределенность;
u - стандартная неопределенность, оцененная по типу А;
A
u - стандартная неопределенность, оцененная по типу В;
B
u(х ) - стандартная неопределенность оценки i-й входной
i
величины;
u - стандартная неопределенность единичного измерения i-й
i
входной величины;
r(x , x ) - коэффициент корреляции оценок i-й и j-й входных
i j
величин;
u - суммарная стандартная неопределенность;
c
k - коэффициент охвата;
t (ню) - квантиль распределения Стьюдента для доверительной
p
вероятности (уровня доверия) р и числа степеней свободы ню;
ню - число степеней свободы при вычислении неопределенности
i
оценки i-й входной величины;
ню - эффективное число степеней свободы, принятое в
eff
Руководстве;
/\
ню - оценка эффективного числа степеней свободы;
eff
U - расширенная неопределенность;
U - расширенная неопределенность для уровня доверия p;
p
S - СКО случайной погрешности результата измерений;
S(х ) - СКО единичного измерения при многократных измерениях
i
i-й входной величины;
_
S(х ) - СКО среднего арифметического значения при многократных
i
измерениях i-й входной величины;
S - СКО суммы случайных и неисключенных систематических
SUM
погрешностей;
К - коэффициент при суммировании систематической и случайной
составляющих суммарной погрешности, принятый в НД ГСИ по
метрологии <*>;
f - оценка эффективного числа степеней свободы, принятая в
эф
НД ГСИ по метрологии;
ДЕЛЬТА - доверительные границы суммарной погрешности
p
результата измерений для доверительной вероятности p;
z - квантиль нормального распределения для доверительной
p
вероятности p;
ТЕТА - границы i-й составляющей неисключенной систематической
i
погрешности;
ТЕТА(р) - доверительные границы систематической погрешности
измерения для доверительной вероятности p;
b - нижняя граница отклонения измеряемой величины от
i
результата измерений;
b - верхняя граница отклонения измеряемой величины от
i+
результата измерений;
b - симметричные границы отклонения измеряемой величины от
i-
результата измерений.
--------------------------------
<*> Здесь и далее обобщенная ссылка "НД ГСИ по метрологии" означает группу нормативных документов по разделу 2 и нормативные документы по Приложению Д - [2] и [3].
4. Рекомендации по применению Руководства
4.1. Основным количественным выражением неопределенности измерений является стандартная неопределенность u.
4.2. Основным количественным выражением неопределенности
измерений, при котором результат определяют через значения других
величин, является суммарная стандартная неопределенность u .
c
4.3. В тех случаях, когда это необходимо, вычисляют
расширенную неопределенность U по формуле:
U = k x u , (1)
c
где k - коэффициент охвата (числовой коэффициент, используемый
как множитель при суммарной стандартной неопределенности для
получения расширенной неопределенности).
4.4. В Руководстве измеряемую величину Y определяют как:
Y = f(X ,..., X ), (2)
1 m
где:
X ,..., X - входные величины (непосредственно измеряемые
1 m
или другие величины, влияющие на результат измерения);
m - число этих величин;
f - вид функциональной зависимости.
4.5. Оценку измеряемой величины y вычисляют как функцию оценок
входных величин x ,..., x после внесения поправок на все
1 m
известные источники неопределенности, имеющие систематический
характер:
y = f(x ,..., x ). (3)
1 m
4.6. Затем вычисляют стандартные неопределенности входных
величин u(x ) (i = 1,..., m) и возможные коэффициенты корреляции
1
r(x , x ) оценок i-й и j-й входных величин (j = 1,..., m).
i j
4.7. Различают два типа вычисления стандартной
неопределенности:
вычисление по типу А - путем статистического анализа
результатов многократных измерений;
вычисление по типу В - с использованием других способов.
4.8. Вычисление стандартной неопределенности u
4.8.1. Вычисление стандартной неопределенности по типу А - u
A
4.8.1.1. Исходными данными для вычисления u являются
A
результаты многократных измерений: x ,..., x (где i = 1,..., m;
i1 in
n - число измерений i-й входной величины).
i
4.8.1.2. Стандартную неопределенность единичного измерения i-й
входной величины u вычисляют по формуле:
A,i
____________________
/ n
/ 1 i _ 2
u = \/------ SUM (x - x ) , (4)
A,i n - 1 q=1 iq i
i
n
_ 1 i
где x = -- SUM x - среденее арифметическое результатов
i n q=1 iq
i
измерений i-й входной величины.
4.8.1.3. Стандартную неопределенность u (х ) измерений i-й
A i
входной величины, при которых результат определяют как среднее
арифметическое, вычисляют по формуле:
_________________________
/ n
/ 1 i _ 2
u (x ) = \/----------- SUM (x - x ) . (5)
A i n (n - 1) q=1 iq i
i i
4.8.2. Вычисление стандартной неопределенности по типу В - u
B
4.8.2.1. В качестве исходных данных для вычисления u
используют: B
- данные предшествовавших измерений величин, входящих в
уравнение измерения; сведения о виде распределения вероятностей;
- данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях
о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;
- неопределенности констант и справочных данных;
- данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе
и т.п.
4.8.2.2. Неопределенности этих данных обычно представляют в
виде границ отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее
распространенный способ формализации неполного знания о значении
величины заключается в постулировании равномерного закона
распределения возможных значений этой величины в указанных (нижней
и верхней) границах [(b , b ) для i-й входной величины]. При
i- i+
этом стандартную неопределенность, вычисляемую по типу В, - u (х )
B i
определяют по формуле:
b - b
i+ i-
u (x ) = ---------, (6)
B i _
2 \/3
а для симметричных границ (+/- b ) - по формуле:
i
b
i
u (x ) = ---. (7)
B i _
\/3
4.8.2.3. В случае других законов распределения формулы для
вычисления неопределенности по типу В будут иными.
4.8.3. Для вычисления коэффициента корреляции r(x , x )
i j
используют согласованные пары измерений (x , x ) (где l =
il jl
1,..., n ; n - число согласованных пар результатов измерений):
ij ij
n
ij _ _
SUM (x - x ) (x - x )
l=1 il i jl j
r(x , x ) = -----------------------------------. (8)
i j _______________________________
/n n
/ ij _ 2 ij _ 2
\/ SUM (x - x ) SUM (x - x )
l=1 il i l=1 jl j
4.9. Вычисление суммарной стандартной неопределенности u
c
4.9.1. В случае некоррелированных оценок x ,..., x суммарную
1 m
стандартную неопределенность u (y) вычисляют по формуле:
c
________________
/m df 2 2
u (y) = \/SUM (-- ) u (x ). (9)
c i=1 dx i
i
4.9.2. В случае коррелированных оценок x ,..., x суммарную
1 m
стандартную неопределенность вычисляют по формуле:
________________________________________________________
/m df 2 2 m m df df
u (y) = \/SUM (-- ) u (x ) + SUM SUM --- --- r(x , x ) u(x ) u(x ), (10)
c i=1 dx i i=1 j=1 dx dx i j i j
i i j
где:
r(х , x ) - коэффициент корреляции;
i j
u(x ) - стандартная неопределенность i-й входной величины,
i
вычисленная по типу А или В.
4.10. Выбор коэффициента охвата k при вычислении расширенной
неопределенности
4.10.1. В общем случае коэффициент охвата k выбирают в
соответствии с формулой:
k = t (ню ), (11)
p eff
где t (ню ) - квантиль распределения Стьюдента с эффективным
p eff
числом степеней свободы ню и доверительной вероятностью
eff
(уровнем доверия) p. Значения коэффициента t (ню ) приведены в
p eff
Приложении Г.
4.10.2. Эффективное число степеней свободы определяют по
формуле:
4
u
c
ню = -----------------, (12)
eff 4
u (x )
m i df 4
SUM ------ (---)
i=1 ню dx
i i
где:
ню - число степеней свободы при определении оценки i-й
i
входной величины, при этом:
ню = n - 1 - для вычисления неопределенностей по типу А;
i i
ню = бесконечность - для вычисления неопределенностей по типу
i
В.
4.10.3. Во многих практических случаях при вычислении неопределенностей результатов измерений делают предположение о нормальности закона распределения возможных значений измеряемой величины и полагают:
k = 2 при p ~= 0,95 и k = 3 при p ~= 0,99.
При предположении о равномерности закона распределения полагают:
k = 1,65 при p ~= 0,95 и k = 1,71 при p ~= 0,99.
4.11. При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации для возможности проанализировать или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей измерений, а именно:
- алгоритм получения результата измерений;
- алгоритм расчета всех поправок и их неопределенностей;
- неопределенности всех используемых данных и способы их получения;
- алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей (включая значение коэффициента k).
5. Соответствие между формами представления результатов
измерений, используемыми в НД ГСИ по метрологии,
и формой, используемой в Руководстве
5.1. При проведении совместных работ с зарубежными странами в работах, проводимых под эгидой МКМВ и его Консультативных комитетов, при подготовке публикаций в зарубежной печати, при публикациях работ по определению физических констант и в других случаях, связанных с выполнением международных метрологических работ, целесообразно руководствоваться нижеприведенными схемами.
5.1.1. При вычислении неопределенности измерений следует придерживаться последовательности, показанной на рисунке 1.
---------------------------¬
¦Запись уравнения измерений¦
¦ Y = f(X ,..., X ) ¦
¦ 1 m ¦
L-------------T-------------
¦
\/
-------------------¬
¦Внесение поправок.¦
¦Вычисление оценок ¦
¦ (x ,..., x ) ¦
¦ 1 m ¦
L---------T---------
¦
\/
----------------------------¬
¦ Определение результата ¦
¦измерений y = f(x ,..., x )¦
¦ 1 m ¦
L-------------T--------------
¦
\/
---------------------------------------------¬
¦ Вычисление стандартной неопределенности и ¦
¦числа степеней свободы i-й входной величины:¦
¦ u(x ) (см. 4.8) и ню (см. 4.10.2) ¦
¦ i i ¦
L----------------------T----------------------
\/
------------------------------------¬
¦Вычисление коэффициентов корреляции¦
¦ r(x , x ) (см. 4.8.3) ¦
¦ i j ¦
L----------------T-------------------
¦
\/
--------------------------------------------------¬
¦Вычисление суммарной стандартной неопределенности¦
¦ измерений u (y) (см. 4.9) ¦
¦ c ¦
L------------------------T-------------------------
¦
\/
----------------------------------------¬
¦Вычисление расширенной неопределенности¦
¦ измерений U (см. 4.3 и 4.10) ¦
L----------------------------------------
Рисунок 1
5.2. Сопоставление способов оценивания доверительных границ
погрешности ДЕЛЬТА и вычисления расширенной неопределенности U
р р
измерений приведено в таблице 1.
Таблица 1
------T-------------------T---------------------------------------------------------T------------------¬
¦НД ¦ ТЕТА(p) ¦ ТЕТА(p) ¦ ТЕТА(р) ¦
¦ГСИ ¦ ------- < 0,8 ¦ 0,8 <= ------- <= 8,0 ¦ ------- > 8,0 ¦
¦по ¦ S ¦ S ¦ S ¦
¦мет- +-------------------+---------------------------------------------------------+------------------+
¦роло-¦ДЕЛЬТА = t (f ) S¦ __________________ ¦ДЕЛЬТА = ТЕТА(р) ¦
¦гии ¦ p p эф ¦ / 2 ¦ p ¦
¦ ¦ ¦ t (f ) S + ТЕТА(p) / ТЕТА ¦ ¦
¦ ¦ ¦ p эф /2 m df 2 i ¦ ¦
¦ ¦ ¦ДЕЛЬТА = ---------------------- \/S + SUM (---) -----,¦ ¦
¦ ¦ ¦ p _____________ i=1 dx 3 ¦ ¦
¦ ¦ ¦ / 2 i ¦ ¦
¦ ¦ ¦ / ТЕТА ¦ ¦
¦ ¦ ¦ /m df 2 i ¦ ¦
¦ ¦ ¦ S + \/SUM (---) ----- ¦ ¦
¦ ¦ ¦ i=1 dx 3 ¦ ¦
¦ ¦ ¦ i ¦ ¦
¦ +-------------------+---------------------------------------------------------+------------------+
¦ ¦ ________________ _______________ ¦
¦ ¦ /m df 2 2 _ /m df 2 2 ¦
¦ ¦где S = \/SUM (---) S (x ); ТЕТА(p) = k \/SUM (---) ТЕТА , ¦
¦ ¦ i=1 dx i i=1 dx i ¦
¦ ¦ i i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦здесь k = 1,1 при p = 0,95 и k = 1,4 при p = 0,99 и m > 4. ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦ m df 2 2 _ 2 2 m df 4 4 _ ¦
¦ ¦ (SUM (---) S (x )) - ----- SUM (---) S (x ) ¦
¦ ¦ i=1 dx i m + 1 i=1 dx i ¦
¦ ¦ i i ¦
¦ ¦f = ---------------------------------------------- ¦
¦ ¦ эф 1 m df 4 4 _ ¦
¦ ¦ ----- SUM (---) S (x ) ¦
¦ ¦ m + 1 i=1 dx i ¦
¦ ¦ i ¦
+-----+------------------------------------------------------------------------------------------------+
¦Руко-¦ ________________ ¦
¦вод- ¦ /m df 2 2 ¦
¦ство ¦U = t (ню ) \/SUM (---) u (x ), ¦
¦ ¦ p p eff i=1 dx i ¦
¦ ¦ i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦ 4 ¦
¦ ¦ u ¦
¦ ¦ c ¦
¦ ¦где ню = -----------------, ¦
¦ ¦ eff 4 ¦
¦ ¦ u (x ) ¦
¦ ¦ m i df 4 ¦
¦ ¦ SUM ------ (---) ¦
¦ ¦ i=1 ню dx ¦
¦ ¦ i i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦ причем ню = n - 1 - для неопределенностей, вычисленных по типу А; ¦
¦ ¦ i i ¦
¦ ¦ ню = бесконечность - для неопределенностей, вычисленных по типу В ¦
¦ ¦ i ¦
¦ +------------------------------------------------------------------------------------------------+
¦ ¦ Для большинства практических случаев в предположении: ¦
¦ ¦ - нормального закона распределения U = 2u , U = 3u ; ¦
¦ ¦ 0,95 c 0,99 с ¦
¦ ¦ - равномерного закона распределения U = 1,65u , U = 1,71u ¦
¦ ¦ 0,95 c 0,99 c ¦
L-----+-------------------------------------------------------------------------------------------------
5.3. При сопоставлении оценок характеристик погрешности и неопределенностей результатов измерений рекомендуется использовать следующую схему (с учетом пояснений А.5 и А.6 Приложения А):
СКО, характеризующее <-------> Стандартная неопределенность,
случайную погрешность вычисленная по типу А
СКО, характеризующее <-------> Стандартная неопределенность,
неисключенную систе- вычисленная по типу В
матическую погреш-
ность
СКО, характеризующее <-------> Суммарная стандартная
суммарную погрешность неопределенность
Доверительные грани- <-------> Расширенная неопределенность.
цы погрешности
5.4. Если отсутствует достаточная информация для вычисления
неопределенности u в соответствии с Руководством (раздел 4
/\
настоящей Рекомендации), то ее оценка u может быть получена на
основании оценок характеристик погрешности по приведенным ниже
схемам. Схемы 1 и 2 соответствуют двум различным способам
представления результатов измерений, принятым в НД ГСИ по
метрологии. Необходимо отметить, что оценки неопределенностей,
полученные таким образом, в ряде случаев не совпадают со
значениями неопределенностей, полученными в соответствии с
Руководством (см. Приложение В).
Схема 1
------------------------¬ -------------------------------------¬
¦y - результат измере- ¦ ¦y - результат измерений; ¦
¦ний; ¦ ¦ ¦
¦ ¦ ¦/\ ¦
¦S - СКО случайной пог- ¦ ¦u = S - оценка стандартной неопре- ¦
¦решности результата из-¦ ¦ A ¦
¦мерений; ¦ ¦деленности, вычисленной по типу А; ¦
¦ ¦ ¦ ¦
¦ТЕТА(р) - доверительные¦ ¦/\ ТЕТА(р) ¦
¦границы неисключенной ¦ ¦u = ------- - оценка стандартной ¦
¦систематической погреш-¦ ¦ B _ ¦
¦ности результата изме- +-->¦ k \/3 ¦
¦рений; ¦ ¦неопределенности, вычисленной по ти-¦
¦ ¦ ¦пу В, при этом: ¦
¦m - число входных вели-¦ ¦k = 1,1 - при p = 0,95 и ¦
¦чин; ¦ ¦k = 1,4 - при p = 0,99 и m > 4; ¦
¦ ¦ ¦ _________ ¦
¦f - оценка эффектив- ¦ ¦/\ //\2 /\2 ¦
¦ эф ¦ ¦u = \/ u + u - оценка суммарной¦
¦ного числа степеней ¦ ¦ c А В ¦
¦свободы; ¦ ¦стандартной неопределенности; ¦
¦ ¦ ¦ ¦
¦f = n - 1 - при пря- ¦ ¦ /\2 ¦
¦ эф ¦ ¦ u ¦
¦мых измерениях (где n -¦ ¦/\ B 2 ¦
¦число измерений) ¦ ¦ню = f x [1 + ---] - оценка ¦
L------------------------ ¦ eff эф /\2 ¦
¦ u ¦
¦ A ¦
¦эффективного числа степеней свободы;¦
¦ ¦
¦/\ /\ /\ ¦
¦U = t (ню ) u - оценка расширен-¦
¦ p p eff c ¦
¦ной неопределенности ¦
L-------------------------------------
Схема 2
-------------------------¬ -------------------------------------¬
¦y - результат измерений;¦ ¦y - результат измерений; ¦
¦ ¦ ¦ ¦
¦ДЕЛЬТА - доверительные ¦ ¦/\ ¦
¦ р ¦ ¦U = ДЕЛЬТА - оценка расширенной ¦
¦границы погрешности ¦ ¦ p p ¦
¦измерений; ¦ ¦неопределенности; ¦
¦ ¦ ¦ ¦
¦р - доверительная +->¦ ДЕЛЬТА ¦
¦вероятность ¦ ¦/\ p ¦
L------------------------- ¦u = ------- - оценка суммарной ¦
¦ c z ¦
¦ p ¦
¦стандартной неопределенности; ¦
¦ ¦
¦z - квантиль нормального ¦
¦ p ¦
¦распределения ¦
L-------------------------------------
Оценить неопределенности u и u по отдельности, зная только
A B
ДЕЛЬТА , невозможно.
p
Приложение А
(справочное)
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДВУХ ПОДХОДОВ К ВЫРАЖЕНИЮ
ХАРАКТЕРИСТИК ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
А.1. Целью измерений является получение оценки истинного значения измеряемой величины. Понятие погрешности измерений как разности между результатом измерений и истинным (действительным) значением измеряемой величины используется для описания точности измерений в НД ГСИ по метрологии. Говоря об оценивании погрешности, в метрологической практике государств - участников Соглашения подразумевают оценивание ее характеристик.
------------¬ ---------------¬ -----------¬ ---------------¬
¦ ¦ ¦Характеристика¦ ¦ Алгоритм ¦ ¦ Оценка ¦
¦Погрешность+->¦ погрешности +->¦оценивания+->¦характеристики¦
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ погрешности ¦
L------------ L--------------- L----------- L---------------
А.2. В Руководстве для выражения точности измерений вводят понятие неопределенности измерений. Неопределенность измерений понимают как неполное знание значения измеряемой величины и для количественного выражения этой неполноты вводят распределение вероятностей возможных (обоснованно приписанных) значений измеряемой величины. Таким образом, параметр этого распределения (также называемый - неопределенность) количественно характеризует точность результата измерений.
А.3. Сходными для обоих подходов являются последовательности действий при оценивании характеристик погрешности и вычислении неопределенности измерений:
- анализ уравнения измерений;
- выявление всех источников погрешности (неопределенности) измерений и их количественное оценивание;
- введение поправок на систематические погрешности (эффекты), которые можно исключить.
А.4. Методы вычисления неопределенности, так же как и методы оценивания характеристик погрешности, заимствованы из математической статистики, однако при этом используются различные интерпретации закона распределения вероятностей случайных величин. Кроме изложенных в Руководстве и НД ГСИ по метрологии методов вычисления неопределенности и оценивания характеристик погрешности на практике используют и другие методы.
Возможные различия между оценками характеристик погрешности (в соответствии с НД ГСИ по метрологии) и неопределенностями (в соответствии с Руководством) показаны в примерах, приведенных в Приложениях Б и В.
Различие двух подходов проявляется также в трактовке
неопределенности и характеристик погрешности, основанной на разных
интерпретациях вероятности: частотной и субъективной. В частности,
доверительные границы погрешности (откладываемые от результата
измерений) накрывают истинное значение измеряемой величины с
заданной доверительной вероятностью (частотная интерпретация
вероятности). В то же время аналогичный интервал (y - U , y + U )
p p
трактуется в Руководстве как интервал, содержащий заданную долю
распределения значений, которые могли бы быть обоснованно
приписаны измеряемой величине (субъективная интерпретация
вероятности).
А.5. В общем случае не существует однозначного соответствия между случайными погрешностями и неопределенностями, вычисленными по типу А (а также неисключенными систематическими погрешностями и неопределенностями, вычисленными по типу В). Деление на систематические и случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе измерительного эксперимента, а деление на неопределенности, вычисляемые по типу А и по типу В, - методами их расчета.
А.6. Результаты сравнительного анализа процедур оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений приведены в таблицах А.1 и А.2.
Таблица А.1
ПРОЦЕДУРА ОЦЕНИВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ
РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЙ
---------------T-------------------------------------------------¬
¦Погрешность ¦кси = y - y <-> y = y + кси ¦
¦ ¦ ист ист ¦
+--------------+-------------------------------------------------+
¦Модель ¦кси - случайная величина с плотностью распределе-¦
¦погрешности ¦ 2 ¦
¦ ¦ния вероятностей р(x; E, сигма ,...), где Е - ¦
¦ ¦ 2 ¦
¦ ¦математическое ожидание, сигма - дисперсия ¦
+--------------+-------T-----------------------T-----------------+
¦Характеристики¦S - СКО¦ТЕТА - границы неисклю-¦ДЕЛЬТА - довери-¦
¦погрешности ¦ ¦ченной систематической ¦ p ¦
¦ ¦ ¦погрешности ¦тельные границы ¦
+--------------+-------+-----------------------+-----------------+
¦Исходные дан- ¦1. Модель объекта исследования. ¦
¦ные для оце- ¦2. Экспериментальные данные x , где q = 1,..., ¦
¦нивания харак-¦ iq ¦
¦тиристик пог- ¦n ; i = 1,..., m. ¦
¦решности ¦ i ¦
¦ ¦3. Информация о законах распределения. ¦
¦ ¦4. Сведения об источниках погрешностей, их приро-¦
¦ ¦де и характеристиках составляющих [S(х ), ТЕТА ] ¦
¦ ¦ i i ¦
¦ ¦структурная модель погрешности. ¦
¦ ¦5. Стандартные справочные данные и другие спра- ¦
¦ ¦вочные материалы ¦
+--------------+-------------------------------------------------+
¦Методы оцени- ¦ ____________________ ¦
¦вания характе-¦ / n ¦
¦ристик: ¦ / 1 i _ 2 ¦
¦1. случайных ¦S(x ) = \/------ SUM (x - x ) ; ¦
¦погрешностей ¦ il n - 1 q=1 iq i ¦
¦ ¦ i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦ _________________________ ¦
¦ ¦ / n ¦
¦ ¦ _ / 1 i _ 2 ¦
¦ ¦S(x ) = \/----------- SUM (x - x ) ; ¦
¦ ¦ i n (n - 1) q=1 iq i ¦
¦ ¦ i i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦ ________________ ¦
¦ ¦ /m df 2 2 _ ¦
¦ ¦S = \/SUM (---) S (x ) ¦
¦ ¦ i=1 dx i ¦
¦ ¦ i ¦
¦ +-------------------------------------------------+
¦2. неисключен-¦ _______________ ¦
¦ных системати-¦ /m df 2 2 ¦
¦ческих погреш-¦ТЕТА(р) = k \/SUM (---) ТЕТА , ¦
¦ностей ¦ i=1 dx i ¦
¦ ¦ i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦где k = 1,1 при p = 0,95 и k = 1,4 при p = 0,99 и¦
¦ ¦m > 4 ¦
¦ +-------------------------------------------------+
¦3. суммарной ¦ t (f ) S + ТЕТА(р) ¦
¦погрешности ¦ p эф ¦
¦ ¦ДЕЛЬТА = ---------------------- x ¦
¦ ¦ р _____________ ¦
¦ ¦ / 2 ¦
¦ ¦ / ТЕТА ¦
¦ ¦ /m df 2 i ¦
¦ ¦ S + \/SUM (---) ----- ¦
¦ ¦ i=1 dx 3 ¦
¦ ¦ i ¦
¦ ¦ __________________ ¦
¦ ¦ / 2 ¦
¦ ¦ / ТЕТА ¦
¦ ¦ /2 m df 2 i ¦
¦ ¦х \/S + SUM (---) ----- ¦
¦ ¦ i=1 dx 3 ¦
¦ ¦ i ¦
+--------------+----------------------T--------------------------+
¦Форма предс- ¦ТЕТА(p), S, n, f ¦ДЕЛЬТА ¦
¦тавления ха- ¦ эф ¦ р ¦
¦рактеристик ¦ ¦ ¦
¦погрешности ¦ ¦ ¦
+--------------+----------------------+--------------------------+
¦Интерпретация ¦Интервал (-ДЕЛЬТА , +ДЕЛЬТА ) с вероятностью p ¦
¦полученных ре-¦ p p ¦
¦зультатов ¦содержит погрешность измерений, что равносильно ¦
¦ ¦тому, что интервал (y - ДЕЛЬТА , y + ДЕЛЬТА ) с ¦
¦ ¦ p p ¦
¦ ¦вероятностью p содержит истинное значение измеря-¦
¦ ¦емой величины ¦
L--------------+--------------------------------------------------
Таблица А.2
ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
---------------T-------------------------------------------------¬
¦Модель неопре-¦эта - случайная величина с плотностью распределе-¦
¦деленности ¦ 2 ¦
¦(представление¦ния вероятностей р(x; y, u ,...), где y - матема-¦
¦знания о зна- ¦ 2 ¦
¦чении измеря- ¦тическое ожидание, u - дисперсия ¦
¦емой величины)¦ ¦
+--------------+-------------T--------------------T--------------+
¦Неопределен- ¦Стандартная u¦Суммарная ¦Расширенная ¦
¦ность (коли- ¦ ¦ _____ ¦U = k x u ¦
¦чественная ме-¦ ¦ /m 2 ¦ p c ¦
¦ра) ¦ ¦u = \/SUM u ¦ ¦
¦ ¦ ¦ c i=1 i ¦ ¦
+--------------+-------------+--------------------+--------------+
¦Исходные дан- ¦1. Модель объекта исследования. ¦
¦ные для вычис-¦2. Экспериментальные данные x , где q = 1,..., ¦
¦ления неопре- ¦ iq ¦
¦деленности ¦n ; i = 1,..., m. ¦
¦ ¦ i ¦
¦ ¦3. Информация о законах распределения. ¦
¦ ¦4. Сведения об источниках неопределенности и ин- ¦
¦ ¦формация о значениях неопределенности. ¦
¦ ¦5. Стандартные справочные данные и другие спра- ¦
¦ ¦вочные материалы ¦
+--------------+-------------------------------------------------+
¦Методы вычис- ¦ ______________ ¦
¦ления неопре- ¦ /n ¦
¦деленности: ¦ / i _ 2 ¦
¦ ¦ / SUM (x - x ) ¦
¦ ¦ / q=1 iq i ¦
¦1. по типу А ¦u = \/ ---------------; ¦
¦ ¦ А,i n - 1 ¦
¦ ¦ i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦ ______________ ¦
¦ ¦ /n ¦
¦ ¦ / i _ 2 ¦
¦ ¦ / SUM (x - x ) ¦
¦ ¦ / q=1 iq i ¦
¦ ¦u (x ) = \/ --------------- ¦
¦ ¦ A i n (n - 1) ¦
¦ ¦ i i ¦
¦ +-------------------------------------------------+
¦ ¦ b ¦
¦ ¦ i ¦
¦2. по типу В ¦u (x ) = ---- ¦
¦ ¦ B i _ ¦
¦ ¦ \/3 ¦
¦ +-------------------------------------------------+
¦ ¦U = t (ню ) x u , ¦
¦ ¦ p p eff c ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦ 4 ¦
¦ ¦ u ¦
¦ ¦ c ¦
¦3. расширенной¦где ню = ----------------; ¦
¦неопределен- ¦ eff df 4 ¦
¦ности ¦ (--- u(x )) ¦
¦ ¦ dx i ¦
¦ ¦ m i ¦
¦ ¦ SUM ------------ ¦
¦ ¦ i=1 ню ¦
¦ ¦ i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦ _______________ ¦
¦ ¦ /m df 2 ¦
¦ ¦u = \/SUM (--- u(x )) ; ¦
¦ ¦ c i=1 dx i ¦
¦ ¦ i ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦U = 2u , U = 3u - для нормального ¦
¦ ¦ 0,95 c 0,99 c ¦
¦ ¦закона; ¦
¦ ¦ ¦
¦ ¦U = 1,65u , U = 1,71u - для равномерного¦
¦ ¦ 0,95 c 0,99 c ¦
¦ ¦закона ¦
+--------------+-------------------------------------------------+
¦Представление ¦u , U , k, u , ню ¦
¦неопределен- ¦ c p i i ¦
¦ности ¦ ¦
+--------------+-------------------------------------------------+
¦Интерпретация ¦Интервал (y - U , y + U содержит большую долю ¦
¦полученных ре-¦ p p ¦
¦зультатов ¦(p) распределения значений, которые могли бы быть¦
¦ ¦обоснованно приписаны измеряемой величине ¦
L--------------+--------------------------------------------------
Приложение Б
(справочное)
ПРИМЕР ОЦЕНИВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ И ВЫЧИСЛЕНИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. ИЗМЕРЕНИЯ СИЛЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ТОКА С ПОМОЩЬЮ ВОЛЬТМЕТРА И ТОКОВОГО ШУНТА
Б.1. Уравнение измерений:
V
I = f(V, R) = -, (Б.1)
R
где:
I - сила тока;
V - напряжение;
R - сопротивление шунта.
Б.2. Нахождение результата измерений
Б.2.1. В результате измерений напряжения при температуре t =
(23,00 +/- 0,05) °С получают ряд значений V в милливольтах (где
i
i = 1,..., n; n = 10):
100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60;
100,68; 100,76; 100,65.
Б.2.2. На основе полученных значений вычисляют среднее
_
арифметическое значение напряжения V, мВ, по формуле:
_ 1 n
V = - SUM V = 100,72. (Б.2)
n i=1 i
Б.2.3. Значение сопротивления шунта R , Ом, установлено при
0
его калибровке для I = 10 А и t = 23,00 °С и равно:
R = 0,010088.
0
Б.2.4. Результат измерений силы тока I, А, получают по
формуле:
_
V
I = -- = 9,984. (Б.3)
R
0
Б.3. Анализ источников погрешности результата измерений
Б.3.1. СКО, характеризующее случайную составляющую погрешности
_
при измерениях напряжения S(V), мВ, вычисляют по формуле:
____________
/n _ 2
/SUM (V - V)
_ / i=1 i -2
S(V) = \/ ------------ = 3,4 x 10 , (Б.4)
n (n - 1)
~ _
S(V) = 0,034% <*>.
--------------------------------
<*> Здесь и далее знак тильды над буквой, обозначающей характеристику погрешности (неопределенности), означает, что данная характеристика приведена в относительном виде.
Б.3.2. Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра в милливольтах определены при его калибровке в виде следующего выражения <**>:
--------------------------------
<**> В выражениях для границ погрешностей при равных значениях отклонений от нуля знак +/- здесь и далее опущен.
-4
ТЕТА = 3 x 10 x V + 0,02. (Б.5)
V
_
Тогда при V = V получают:
-2
ТЕТА = 5,0 x 10 мВ,
V
~
ТЕТА = 0,050%.
V
Б.3.3. Границы неисключенной систематической погрешности
значения сопротивления шунта, определенные при его калибровке,
равны:
~
ТЕТА = 0,070%.
R
Тогда при R = R получают:
0
-4 -6
ТЕТА = 7 x 10 x R = 7,1 x 10 Ом. (Б.6)
R 0
Б.3.4. Границы неисключенной систематической составляющей
погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной
погрешностью измерений температуры, находят из формулы,
определяющей зависимость сопротивления от температуры:
R = R x [1 + альфа x (t - t )], (Б.7)
0 0
где:
R - значение сопротивления при t = t (t = 23,00 °C;
0 0 0
R = 0,010088 Ом);
0
-6 -1
альфа - температурный коэффициент (альфа = 6 x 10 К ).
В случае, когда границы погрешности измерения температуры
равны ДЕЛЬТА t, границы соответствующей составляющей погрешности
значения сопротивления равны:
ТЕТА = альфа x ДЕЛЬТА t x R. (Б.8)
R,t
Таким образом, при ДЕЛЬТА t = 0,05 °С получают:
-9
ТЕТА = 3,0 x 10 Ом,
R,t
~ -5
ТЕТА = 3,0 x 10 %.
R,t
В дальнейшем эту составляющую погрешности (ввиду ее малости по
сравнению с другими составляющими) можно не учитывать.
Б.4. Вычисление характеристик погрешности результата измерений
Б.4.1. Делают предположение о равномерном распределении
неисключенных систематических составляющих погрешности результата
измерений внутри их границ ТЕТА и ТЕТА . Тогда СКО суммарной
V R
неисключенной систематической составляющей погрешности результата
измерений силы тока S , А, определяют по формуле:
ТЕТА
__________________________
/ 2 2
/ ТЕТА ТЕТА
/df 2 V df 2 R
S = \/(--) x ----- + (--) x -----, (Б.9)
ТЕТА dV 3 dR 3
df 1 df V
где -- = -, -- = - -- - коэффициенты влияния.
dV R dR 2
R
Таким образом, получают:
__________________________
/ 2 2
/ ТЕТА _ ТЕТА
/1 2 V V 2 R -3
S = \/(--) x ----- + (--) x ----- = 5,0 x 10 А,
ТЕТА R 3 2 3
0 R
0
~
S = 0,050%.
ТЕТА
Б.4.2. Доверительные границы суммарной неисключенной
систематической составляющей погрешности результата измерений силы
тока ТЕТА(p) при доверительной вероятности p = 0,95 оценивают по
формуле:
_________________________
/1 2 2 V 2 2 -3
ТЕТА(0,95) = 1,1 \/(-) ТЕТА + (--) x ТЕТА = 9,5 x 10 А, (Б.10)
R V 2 R
R
~
ТЕТА(0,95) = 0,095%.
Б.4.3. СКО случайной составляющей погрешности результата
измерений силы тока S определяют по формуле:
df _ -3
S = -- x S(V) = 3,4 x 10 А, (Б.11)
dV
~
S = 0,034%.
Б.4.4. СКО суммарной погрешности результата измерений силы
тока S вычисляют по формуле:
SUM
_________
/2 2 -3
S = \/S + S = 6,0 x 10 А, (Б.12)
SUM ТЕТА
~
S = 0,060%.
SUM
Б.4.5. Доверительные границы погрешности результата измерений
силы тока ДЕЛЬТА при p = 0,95 и эффективном числе степеней
0,95
свободы f = n - 1 = 9 вычисляют по формуле:
эф
t (9) x S + ТЕТА(0,95)
0,95
ДЕЛЬТА = ------------------------- x S = 0,012 А, (Б.13)
0,95 S + S SUM
ТЕТА
~
ДЕЛЬТА = 0,12%.
0,95
Б.5. Вычисление неопределенности измерений
Б.5.1. По типу А вычисляют стандартную неопределенность,
обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный
характер.
Б.5.1.1. Стандартную неопределенность напряжения,
обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный
характер, u (V) определяют по формуле:
A
____________
/n _ 2
/SUM (V - V)
/ i=1 i
u (V) = \/ -------------, (Б.14)
A n (n - 1)
-2
u (V) = 3,4 x 10 мВ,
A
~
u (V) = 0,034%.
A
Б.5.1.2. Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную
источниками неопределенности, имеющими случайный характер, u
определяют по формуле: A
df -3
u = -- x u (V) = 3,4 x 10 А, (Б.15)
A dV A
~
u = 0,034%.
A
Б.5.2. По типу В вычисляют стандартные неопределенности,
обусловленные источниками неопределенности, имеющими
систематический характер. Распределение значений величин внутри
границ считают равномерным.
Б.5.2.1. Границы систематического смещения при измерениях
напряжения, определенные при калибровке вольтметра, равны
-4
3 x 10 x V + 0,02. Тогда соответствующую стандартную
неопределенность вычисляют по формуле:
-4 _
3 x 10 x V + 0,02 -2
u = ------------------- = 2,9 x 10 мВ, (Б.16)
B,V _
\/3
~
u = 0,029%.
B,V
Б.5.2.2. Границы, внутри которых лежит значение сопротивления
-4
шунта, определены при калибровке шунта и равны 7 x 10 R. Тогда
при R = R соответствующую стандартную неопределенность u
0 В,R
вычисляют по формуле:
-4
7 x 10 x R
0 -6
u = ------------- = 4,0 x 10 Ом, (Б.17)
B,R _
\/3
~
u = 0,040%.
B,R
Б.5.2.3. Границы изменения значения сопротивления шунта,
обусловленного изменением температуры, равны альфа x ДЕЛЬТА t x
R . Соответствующую стандартную неопределенность u получают в
0 B,t
соответствии с формулой:
альфа x ДЕЛЬТА t x R
0 -9
u = --------------------- = 1,7 x 10 Ом, (Б.18)
B,t _
\/3
~ -5
u = 1,7 x 10 %.
B,t
В дальнейшем этой составляющей неопределенности (ввиду ее
малости по сравнению с другими составляющими) можно пренебречь.
Б.5.2.4. Суммарную стандартную неопределенность u ,
B
вычисленную по типу B, определяют по формуле:
__________________________
/df 2 2 df 2 2 -3
u = \/(--) x u + (--) x u = 5,0 x 10 А, (Б.19)
B dV B,V dR B,R
~
u = 0,050%.
B
Б.5.3. Суммарную стандартную неопределенность u вычисляют по
формуле: c
______
/2 2 -3
u = \/u + u = 6,0 x 10 А, (Б.20)
с A B
~
u = 0,060%.
c
Б.5.4. Эффективное число степеней свободы ню рассчитывают
eff
по формуле:
4
u
c
ню = ----------------------------------------- = 87. (Б.21)
eff 1 4 1 4 V 4
(- x u ) (- x u ) (-- x u )
R A R B,V 2 B,R
R
--------- + ------------- + -------------
n - 1 бесконечность бесконечность
Б.5.5. Коэффициент охвата k получают по формуле:
k = t (ню ) = 1,99. (Б.22)
0,95 eff
Б.5.6. Расширенную неопределенность U определяют следующим
0,95
образом:
U = k x u = 0,012 А, (Б.23)
0,95 c
~
U = 0,12%.
0,95
Б.6. Переход от характеристик погрешности к неопределенности измерений
Б.6.1. Используя оценки характеристик погрешности, полученные в Б.3 и Б.4 настоящего Приложения, можно продемонстрировать получение оценок неопределенностей в соответствии с 5.4 настоящих Рекомендаций.
Схема 1
---------------------------¬ ------------------------------------¬
¦I = 9,984 А, ¦ ¦ /\ -3 ¦
¦ ¦ ¦I = 9,984 А, u = S = 3,4 x 10 А,¦
¦ -3 ¦ ¦ А ¦
¦S = 3,4 x 10 А, ¦ ¦ ¦
¦ ¦ ¦ ТЕТА(0,95) -3 ¦
¦ -3 ¦ ¦u = ---------- = 5,0 x 10 А, ¦
¦ТЕТА(0,95) = 9,5 x 10 А,+-->¦ B _ ¦
¦ ¦ ¦ k x \/3 ¦
¦m = 2, ¦ ¦ ¦
¦ ¦ ¦где k = 1,1 при p = 0,95, ¦
¦n = 10 ¦ ¦ ¦
L--------------------------- ¦ _________ ¦
¦/\ //\2 /\2 -3 ¦
¦u = \/ u + u = 6,0 x 10 А, ¦
¦ c A B ¦
¦ ¦
¦ /\2 ¦
¦ u ¦
¦ B 2 ¦
¦ню = (n - 1) x [1 + ---] = 87, ¦
¦ eff /\2 ¦
¦ u ¦
¦ A ¦
¦ ¦
¦/\ /\ ¦
¦U = t (ню ) x u = 0,012 А¦
¦ 0,95 0,95 eff c ¦
L------------------------------------
В данном примере неопределенности измерений, вычисленные в Б.5 настоящего Приложения в соответствии с Руководством, совпадают с их оценками, полученными по схеме 1.
Схема 2
-----------------------¬ ---------------------------------------¬
¦I = 9,984 А, ¦ ¦I = 9,984 А, ¦
¦ ¦ ¦ ¦
¦ДЕЛЬТА = 0,012 А, ¦ ¦/\ ¦
¦ 0,95 +->¦U = 0,012 А, ¦
¦ ¦ ¦ 0,95 ¦
¦p = 0,95 ¦ ¦ ¦
L----------------------- ¦z = 1,96, ¦
¦ 0,95 ¦
¦ ¦
¦ ДЕЛЬТА ¦
¦/\ 0,95 0,012 ¦
¦u = ---------- = ------ = 0,006 А ¦
¦ c z 1,96 ¦
¦ 0,95 ¦
L---------------------------------------
В данном примере разность неопределенностей измерений, вычисленных в Б.5 настоящего Приложения в соответствии с Руководством, и их оценок, полученных по схеме 2, меньше погрешности округления при вычислениях.
Приложение В
(справочное)
ПРИМЕР ОЦЕНИВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ
И ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ.
ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИНЫ ШТРИХОВОЙ МЕРЫ
Измерение длины штриховой меры проводят на государственном первичном эталоне единицы длины интерференционным методом.
В.1. Уравнение измерений
лямбда
L = A x ------ + альфа L (20 - t) + ДЕЛЬТА l , (В.1)
2n 0 S
в
где:
L - длина штриховой меры;
А - число импульсов;
лямбда - длина волны излучения (лямбда = 0,6329913982 мкм);
n - показатель преломления воздуха (n = 1,000275236);
в в
альфа - коэффициент линейного расширения (альфа = 1,15 x
-5 -1
10 К );
L - опорное значение длины штриховой меры (L = 1,000 м);
0 0
t - температура штриховой меры (t = 20,125 °С);
ДЕЛЬТА l - поправка на размер коллиматорной щели (ДЕЛЬТА l =
S S
0,031 мкм).
В.2. Нахождение результата измерений
В.2.1. В результате измерений числа импульсов и внесения
поправок на известные систематические погрешности в соответствии с
уравнением измерения (В.1) получают ряд значений длины штриховой
меры L в метрах (где i = 1,..., n; n = 10):
i
1,000001356; 1,000001584; 1,000001383; 1,000001469;
1,000001491; 1,000001466; 1,000001575; 1,000001397; 1,000001405;
1,000001334.
_
В.2.2. Оценку значения длины штриховой меры L как среднее
арифметическое значений L определяют по формуле:
i
_ 1 n
L = - SUM L = 1,000001474. (В.2)
n i=1 i
В.3. Анализ источников погрешности результата измерений
В.3.1. СКО случайной составляющей погрешности S, м, определяют
по формуле <*>:
____________
/n _ 2
/SUM (L - L)
/ i=1 i -8
S = \/ ------------- = 2,5 x 10 , (В.3)
n (n - 1)
S = 0,025 мкм.
--------------------------------
<*> Для более компактной записи значения характеристик погрешности (неопределенности) далее будут выражены в микрометрах (мкм).
В.3.2. Границы неисключенных систематических погрешностей:
- определения показателя преломления воздуха
-8
ТЕТА = 2,0 x 10 ;
в -9
- значения длины волны ТЕТА = 6,2 x 10 мкм;
лямбда
- определения температуры меры ТЕТА = 0,003 °С;
t
- определения поправки на размер коллиматорной щели
ТЕТА = 0,002 мкм.
ДЕЛЬТА l
Составляющие погрешности результата измерений, обусловленные
погрешностями значений L и альфа, пренебрежимо малы.
0
В.4. Вычисление характеристик погрешности результата измерений
В.4.1. В предположении о равномерном распределении
неисключенных систематических составляющих суммарной погрешности
внутри границ ТЕТА , ТЕТА , ТЕТА , ТЕТА СКО
в лямбда t ДЕЛЬТА l
неисключенной систематической составляющей погрешности
результата измерений S вычисляют по формуле:
ТЕТА
______________________________________________________________________________________
/ 2 2 2 2
/ ТЕТА ТЕТА ТЕТА ТЕТА
/df 2 в df 2 лямбда df 2 t df 2 ДЕЛЬТА l
S = \/(---) x ----- + (--------) x ---------- + (--) x ----- + (-----------) x ------------, (В.4)
ТЕТА dn 3 d лямбда 3 dt 3 d(ДЕЛЬТА l) 3
в
df лямбда df 1 df df
где --- = - А x ------; -------- = А x ---; -- = альфа x L ; ----------- = 1 - коэффициенты влияния.
dn 2 d лямбда 2n dt 0 d(ДЕЛЬТА l)
в 2n в
в
Таким образом, получают:
__________________________________________________________________________________________
/ 2 2 2 2
/ ТЕТА ТЕТА ТЕТА ТЕТА
/ лямбда 2 в 1 2 лямбда 2 t 2 ДЕЛЬТА l
S = \/(А x ------) x ----- + (А x ---) x ---------- + (альфа x L ) x ----- + (1) x ------------. (В.5)
ТЕТА 2 3 2n 3 0 3 3
2n в
в
лямбда
Для упрощения расчетов можно принять: А x ------ ~= 1 м,
2n
в
n ~= 1,00, лямбда ~= 0,633 мкм.
в
Тогда получают:
S ~= 0,024 мкм.
ТЕТА
В.4.2. Доверительные границы неисключенной систематической
погрешности результата измерений при p = 0,99 и числе
неисключенных составляющих систематической погрешности m = 4 (k =
1,23 по [3]) - ТЕТА(0,99) вычисляют по формуле:
________________________________________________________________________________________
/df 2 2 df 2 2 df 2 2 df 2 2
ТЕТА(0,99) = 1,23 \/(---) x ТЕТА + (--------) x ТЕТА + (--) x ТЕТА + (-----------) x ТЕТА . (В.6)
dn в d лямбда лямбда dt t d(ДЕЛЬТА l) ДЕЛЬТА l
в
Рассчитывая коэффициенты влияния по В.4.1, получают:
ТЕТА(0,99) = 0,051 мкм.
В.4.3. СКО суммарной погрешности S , мкм, определяют по
SUM
формуле:
_________
/2 2
S = \/S + S = 0,035. (В.7)
SUM ТЕТА
В.4.4. Доверительные границы суммарной погрешности ДЕЛЬТА
0,99
при p = 0,99 и f = n - 1 = 9 вычисляют по формуле:
эф
t (9) x S + ТЕТА(0,99) _________
0,99 /2 2
ДЕЛЬТА = ------------------------- x \/S + S = 0,094 мкм. (В.8)
0,99 S + S ТЕТА
ТЕТА
В.5. Вычисление неопределенности измерений
В.5.1. По типу А вычисляют стандартную неопределенность u ,
A
обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный
характер при измерении длины штриховой меры, по формуле:
____________
/n _ 2
/SUM (L - L)
/ i=1 i
u = \/ ------------- = 0,025 мкм. (В.9)
А n (n - 1)
В.5.2. По типу В вычисляют стандартные неопределенности,
обусловленные источниками неопределенности, имеющими
систематический характер. Закон распределения величин внутри
границ считают равномерным.
В.5.2.1. Границы, внутри которых лежит значение показателя
-8
преломления воздуха, равны ТЕТА = 2,0 x 10 . Стандартную
в
неопределенность, обусловленную неточным знанием данного
параметра, u определяют как:
В,в
ТЕТА
в -8
u = ----- = 1,2 x 10 . (В.10)
В,в _
\/3
В.5.2.2. Границы, внутри которых лежит значение длины волны
-9
излучения, равны ТЕТА = 6,2 x 10 мкм. Тогда
лямбда
соответствующую стандартную неопределенность u вычисляют
B,лямбда
по формуле:
ТЕТА
лямбда -9
u = ---------- = 3,6 x 10 мкм. (В.11)
B,лямбда _
\/3
В.5.2.3. Границы, внутри которых лежит значение температуры
штриховой меры, равны ТЕТА = 0,003 °С. Стандартную
t
неопределенность, обусловленную неточным знанием температуры, u
В,t
вычисляют по формуле:
ТЕТА
t
u = ----- = 0,002 °С. (В.12)
B,t _
\/3
В.5.2.4. Границы, внутри которых лежит значение поправки на
размер коллиматорной щели, равны ТЕТА = 0,002 мкм.
ДЕЛЬТА l
Тогда соответствующую стандартную неопределенность u
В,ДЕЛЬТА l
получают по формуле:
ТЕТА
ДЕЛЬТА l
u = ------------ = 0,001 мкм. (В.13)
В,ДЕЛЬТА l _
\/3
В.5.2.5. Суммарную стандартную неопределенность, вычисленную
по типу В, - u определяют по формуле:
B
____________________________________________________________________________
/df 2 2 df 2 2 df 2 2 df 2 2
u = \/(---) x u + (--------) x u + (--) x u + (-----------) x u . (В.14)
В dn в d лямбда лямбда dt t d(ДЕЛЬТА l) ДЕЛЬТА l
в
Расчет коэффициентов влияния - по В.4.1:
u ~= 0,024 мкм.
B
В.5.3. Суммарную стандартную неопределенность u вычисляют по
формуле c
______
/2 2
u = \/u + u = 0,035 мкм. (В.15)
c A B
В.5.4. Эффективное число степеней свободы ню определяют по
eff
формуле:
4
u
c
ню = ------------------------------------------------------------------------------------------ = 35. (В.16)
eff df 4 df 4 df 4 df 4
4 (--- x u ) (-------- x u ) (-- x u ) (----------- x u )
(u ) dn в d лямбда лямбда dt t d(ДЕЛЬТА l) ДЕЛЬТА l
А в
----- + ------------- + --------------------- + ------------- + --------------------------
n - 1 бесконечность бесконечность бесконечность бесконечность
В.5.5. Коэффициент охвата k определяют следующим образом:
k = t (ню ) = 2,73. (В.17)
0,99 eff
В.5.6. Расширенную неопределенность U определяют как:
0,99
U = k x u = 0,096 мкм. (В.18)
0,99 c
В.6. Переход от характеристик погрешности к неопределенности измерений
В.6.1. Используя оценки характеристик погрешности, полученные в В.4 настоящего Приложения, можно продемонстрировать получение оценок неопределенностей в соответствии с 5.4 настоящих Рекомендаций.
Схема 1
------------------------¬ --------------------------------------¬
¦Y = 1,000001474 м, ¦ ¦Y = 1,000001474 м, ¦
¦ ¦ ¦ ¦
¦S = 0,025 мкм, ¦ ¦/\ ¦
¦ +->¦u = S = 0,025 мкм, ¦
¦ТЕТА(0,99) = 0,051 мкм,¦ ¦ A ¦
¦ ¦ ¦ ¦
¦m = 4, ¦ ¦/\ ТЕТА(0,99) ¦
¦ ¦ ¦u = ---------- = 0,024 мкм, ¦
¦n = 10 ¦ ¦ B _ ¦
L------------------------ ¦ k \/3 ¦
¦ ¦
¦где k = 1,23 при p = 0,99; ¦
¦ ¦
¦ _________ ¦
¦/\ //\2 /\2 ¦
¦u = \/ u + u = 0,035 мкм, ¦
¦ c A B ¦
¦ ¦
¦ /\2 ¦
¦ u ¦
¦ B 2 ¦
¦ню = (n - 1) x [1 + ---] = 35, ¦
¦ eff /\2 ¦
¦ u ¦
¦ A ¦
¦ ¦
¦/\ /\ ¦
¦U = t (ню ) x u = 0,096 мкм¦
¦ 0,99 0,99 eff c ¦
L--------------------------------------
В данном примере неопределенности измерений, вычисленные по В.5 настоящего Приложения в соответствии с Руководством, совпадают с их оценками, полученными по схеме 1.
Схема 2
-----------------------¬ ---------------------------------------¬
¦L = 1,000001474 м, ¦ ¦Y = 1,00000001474 м, ¦
¦ ¦ ¦ ¦
¦р = 0,99, ¦ ¦z = 2,576, ¦
¦ ¦ ¦ 0,99 ¦
¦ДЕЛЬТА = 0,094 мкм+->¦ ¦
¦ 0,99 ¦ ¦/\ ¦
L----------------------- ¦U = ДЕЛЬТА = 0,094 мкм, ¦
¦ 0,99 0,99 ¦
¦ ¦
¦ ДЕЛЬТА ¦
¦/\ 0,99 0,094 ¦
¦u = ---------- = ----- = 0,036 мкм ¦
¦ c z 2,576 ¦
¦ 0,99 ¦
L---------------------------------------
Относительные разности неопределенностей измерений, вычисленных по В.5 настоящего Приложения в соответствии с Руководством, и их оценок, полученных по схеме 2 (когда отсутствует достаточная информация для их оценки в соответствии с Руководством), в данном примере равны:
/\
U - U
¦ 0,99 0,99¦ ¦0,094 - 0,096¦
¦-------------¦ x 100 = ¦-------------¦ x 100 = 2%,
¦ U ¦ ¦ 0,096 ¦
¦ 0,99 ¦ ¦ ¦
/\
¦u - u ¦ ¦ ¦
¦ c c¦ ¦0,036 - 0,035¦
¦-------¦ x 100 = ¦-------------¦ x 100 = 3%.
¦ u ¦ ¦ 0,035 ¦
¦ c ¦ ¦ ¦
Приложение Г
(справочное)
ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА t (ню) ДЛЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ,
р
ИМЕЮЩЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА С ню СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
--------T-------------------T--------------T---------------------¬
¦ ню ¦ t (ню) ¦ ню ¦ t (ню) ¦
¦ ¦ p ¦ ¦ p ¦
¦ +---------T---------+ +----------T----------+
¦ ¦ р = 0,95¦ р = 0,99¦ ¦ р = 0,95 ¦ р = 0,99 ¦
+-------+---------+---------+--------------+----------+----------+
¦ 3 ¦ 3,182 ¦ 5,841 ¦ 16 ¦ 2,120 ¦ 2,921 ¦
¦ 4 ¦ 2,776 ¦ 4,604 ¦ 18 ¦ 2,101 ¦ 2,878 ¦
¦ 5 ¦ 2,571 ¦ 4,032 ¦ 20 ¦ 2,086 ¦ 2,845 ¦
¦ 6 ¦ 2,447 ¦ 3,707 ¦ 22 ¦ 2,074 ¦ 2,819 ¦
¦ 7 ¦ 2,365 ¦ 3,499 ¦ 24 ¦ 2,064 ¦ 2,797 ¦
¦ 8 ¦ 2,306 ¦ 3,355 ¦ 26 ¦ 2,056 ¦ 2,779 ¦
¦ 9 ¦ 2,262 ¦ 3,250 ¦ 28 ¦ 2,048 ¦ 2,763 ¦
¦ 10 ¦ 2,228 ¦ 3,169 ¦ 30 ¦ 2,042 ¦ 2,750 ¦
¦ 12 ¦ 2,179 ¦ 3,055 ¦бесконечность ¦ 1,960 ¦ 2,576 ¦
¦ 14 ¦ 2,145 ¦ 2,977 ¦ ¦ ¦ ¦
L-------+---------+---------+--------------+----------+-----------
Приложение Д
(справочное)
БИБЛИОГРАФИЯ
[1] Руководство по выражению неопределенности измерения. Перевод с английского под редакцией В.А. Слаева. ВНИИМ. С.-Пб., 1999 <*>.
--------------------------------
<*> Подлинник документа - Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement: First edition. ISO, Switzerland, 1993, находится во ВНИИКИ Госстандарта России.
[2] МИ 1317-86. Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы и способы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров.
[3] МИ 2083-90. Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей.
------------------------------------------------------------------
--------------------
| | |
|
